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11 Mit u gehoren auch u und u zur Schwartz-Klasse iiber R. Beweis: Wir wissen, daB d~nn u(x) Lebesgue-integrierbar ist, da die Funktion stetig ist und fUr x -+ ±oo schnell abnimmt. Also ist f[d~nn u(x)]e-21rixe dx beschriinkt, und mit partieller Integration konnen wir darauf schlieBen, daB (27rie)n f u(x)e-21rixe dx = (27rie)nu(e) fUr -+ ±oo beschriinkt ist. Wir durfen Integration und Ableitung vertauschen: :enn u(e) = :enn f u(x )e-21rixt dx = f (- 27rix)n u( x)e - 21r;xe dx, da der Integrand wegen des schnellen Abklingens von u absolut integrierbar bleibt.

Wir konnen auch einzelne Teile auf ihre Eingabeparameter mit bekannten Ausgabewerten testen, beY~r wir sie in ein groBes Programm einbinden, das fUr einen Test zu umfangreich ist. Falls eine Funktion invertierbar ist, so kann man dies dadurch priifen, daB man die Inverse implementiert und testet, ob die Verkniipfung der beiden Funktionen auf einer groBen Menge von Eingabedaten die Identitiit liefert. 3 Pseudocode AIle Algorithmen in diesem Text sind in Standard C implementiert und auf der optionalen Diskette zu finden, die wie im Vorwort des Buches erwiihnt erhiiltlich ist.

4 Approximation In jeder numerischen Rechnung konnen wir nur endlich viele Parameter verwenden. Eine Funktion einer reellen Variablen muE deshalb erst approximiert werden durch ihre Projektion auf einen endlich-dimensionalen Raum, der sich als lineare Hiille einer endlichen Menge ~ N = {¢> N,k (t) : k = 0, 1, 2, ... , N - I} von sogenannten Synthese-Funktionen ergibt. } sein. ) = q) bezeichnet hierbei den grofiten gemeinsamen Teiler der natiirlichen Zahlen p und q. (Anm. B. die charakteristischen Funktionen der Translation oder Dilatation eines Abtastintervalls, oder auch komplizierte Faile wie die Eigenfunktionen eines linearen Operator.

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