By Lothar Heffter
ISBN-10: 3662012723
ISBN-13: 9783662012727
ISBN-10: 3662012731
ISBN-13: 9783662012734
Unter "Begrundung der Funktionentheorie" verstehen wir die auf moglichst elementarem Weg gewonnene Darstellung einer Funktion f (z) == u (x, y) + iv(x, y) von z == x + yi durch gewohnliche Potenzreihen, wenn iiber f(z) gewisse moglichst elementare Voraussetzungen gemacht werden. Diese konnen sehr verschiedener paintings sein. Wahrend aber wohl aIle Lehrbiicher der Funktionentheorie nur einen der beiden "klassi schen" Wege verfolgen, bei denen die Existenz der Ableitung f'(z) (GOURSAT) oder deren Existenz und Stetigkeit (CAUCHY) den Ausgangs punkt bildet, werden hier auBer jenen beiden noch vier andere Wege bis zu dem genannten Endziel gebahnt. Einer von ihnen (MORERA 1901, 26) wird hauptsachlich nur aus historischem Interesse durchgefuhrt. Die drei anderen ruhren in der vorliegenden Gestalt vom Verfasser her und gehen von geringeren Voraussetzungen aus als GOURSAT, d. h. der Existenz von f' (z). Nur einer von ihnen warfare schon in der Schrift "Kurven integrale und Begrundung der Funktionentheorie," Springer-Verlag 1948, enthalten. Damit battle von mir ein Wunsch erfullt worden, in dem sich BOLZA, wie er mir erzahlte, 1912 in London mit HILBERT begegnet battle. Wichtige Teile der Funktionentheorie beginnen erst nach der Be griindung, wenn guy additionally schon im Besitz der Potenzreihen fur f(z) ist. Auf diese Teile gehen wir nicht mehr ein, da wir ja nicht ein "Lehrbuch der Funktionentheorie," sondern gewissermaBen nur den A nfang eines sol chen auf sehr verschiedenen Wegen liefern wollen. Abschnitt A bringt Vorkenntnisse, die unmittelbar oder mittelbar wirklich benutzt werden, und zwar mit Beweisen der angefuhrten Satze.
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Die Absicht, dieses Buch zu schreiben, faBte ich zu einer Zeit, als noch keine Mono graphie iiber die Ferrite in der Literatur vorhanden conflict. Bald darauf erschien jedoch das heute bereits sehr verbreitete Buch von Smit und Wijn, und in kurzem Abstand folgten weitere Werke. Damals iiberlegte ich, ob es sinnvoll sei, in der Bearbeitung des Stoffes fortzufahren, den insbesondere das Buch von Smit und Wijn mit so groBem Erfolg bewaltigt hatte, und ob eventuell eine tschechische Vbersetzung dieses Buches nicht in geniigendem MaBe die Liicke ausfii1len wiirde, die bisher in dieser Bezie hung in der tschechischen Literatur bestand.
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Nun sei (Abb. 11) z = a ein beliebiger innerer Wert von G und T eine ihn umgebende geschlossene Treppenlinie, die ganz innerhalb G verläuft und einen Teil von G vollständig begrenzt, z. B. ein achsenparalleles Quadrat Q mit dem Mittelpunkt a und der Seitenlänge 2q. Wird dann z beschränkt auf einen Kreis K um a mit Radius r, der ganz innerhalb von Q liegt, so daß r< q, so ist für alle Punkte z, für die /z - al ; ; ; r, und für alle Punkte t auf der Peripherie von Q It - al ; ;:; q, also für alle jene z und diese t (1) Nach § 20 (7) ist dann /(z) = ~rh = ~ rh 2m ':t' (t-a)f(t)(1 -dtt-a z-a) = ~d) f(1)dt [1 + z-a + (z-a)2 + ...
Nach § 8, (1) und (2): u und v sind total differenzierbar. Umgekehrt aber folgt aus den Formeln (9) und (6) die Formel (8), also (3), in der nur e durch 2 e ersetzt ist. Somit hat sich ergeben: f (z) hat dann und nur dann einen eindeutig bestimmten endlichen Differentialquotienten f' (z) oder sie ist dann und nur dann eindeutig differenzierbar, wenn u und v total differenzierbar sind und ihre partiellen Ableitungen die CAUCHy-RIEMANNschen Differentialgleichungen (6) erfüllen. Besitzt die Funktion f(z) == u(x,y) + iv(x,y) noch die Ableitung f" (z), so ist diese nach der auf f' (z) angewandten Formel (7) f" (z) + iVn = V2I - iU 2I = VI2 - i~2 = - U22 - iv 22 .
Bzw. ) ist beidemal 12 = gl' Wir führen den Beweis nach einer Doppelsummenmethode, die bei einem solchen Integralsatz fast immer anwendbar ist, gleichviel, ob man von der Doppelsumme zu einem Flächenintegral übergeht oder nicht. Wir teilen die Seiten (a, b) und (IX, ß) von Rinn gleiche Teile durch die Teilpunkte X 1 'X2' . , xn- 1 , bzw. Yl' Y2," " Yn-l, legen durch diese Parallele zu den Achsen und zerschneiden so R in n 2 kongruente Rechtecke (Abb. , YV+l) ist. " ß)] (xI" +1 + }; [g(b, v 1) L.
Begründung der Funktionentheorie auf Alten und Neuen Wegen by Lothar Heffter
by Anthony
4.2