By Götz Kersting, Anton Wakolbinger
ISBN-10: 3764384301
ISBN-13: 9783764384302
In der modernen Stochastik werden Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Zufallsvariablen gedacht. Damit macht dieses Lehrbuch Ernst, schon die Welt uniform verteilter Zufallsgrößen wird dann farbig. Das Konzept der Zufallsgrößen prägt den Aufbau des Buches. Es enthält neue Beispiele und dringt auf knappem Raum weit in das Rechnen mit Zufallsvariablen vor, ohne Techniken aus der Maß- und Integrationstheorie zu bemühen. Die wichtigsten diskreten und kontinuierlichen Verteilungen werden erklärt, und der Umgang mit Erwartungswert, Varianz und bedingten Verteilungen wird vermittelt. Der textual content reicht bis zum Zentralen Grenzwertsatz (samt Beweis) und zu den Anfängen der Markovketten. Je ein Kapitel ist Ideen der Statistik und der Informationstheorie gewidmet. Damit liefert das Buch Orientierung und fabric für verschiedene Varianten 2- oder 4-stündiger einführender Lehrveranstaltungen.
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N − k)! p uk−1 (1 − u)n−k du . 0 Aufgabe III Erwartungswert, Varianz, Unabhängigkeit Nachdem bisher Beispiele im Vordergrund standen, wollen wir nun erste Schritte in die Theorie gehen. Wir zeigen, wie man mit Erwartungswerten und Varianzen umgeht, behandeln den Begriff der (stochastischen) Unabhängigkeit und leiten zwei besonders wichtige Resultate der Stochastik ab, das Schwache Gesetz der Großen Zahlen und den Zentralen Grenzwertsatz. 7 Ein neuer Blick auf alte Formeln Erwartungswert und Varianz der Bin(n, p)-Verteilung, np und npq, sowie der Hyp(n, g, w)-Verteilung, np und npq g−n g−1 mit p := w/g, haben wir bereits berechnet.
H. (Z1 , . . , Zn ) ist ein p-Münzwurf mit Erfolgswahrscheinlichkeit p, und Xp := Z1 + · · · + Zn ist Bin(n, p)-verteilt. Die beiden Ereignisse {Xp ≥ k} und {U(k) ≤ p} stimmen überein, also folgt P(U(k) ≤ p) = P(Xp ≥ k) . Zeigen Sie für eine Bin(n, p)-verteilte Zufallsvariable X P(X ≥ k) = n! (n − k)! p uk−1 (1 − u)n−k du . 0 Aufgabe III Erwartungswert, Varianz, Unabhängigkeit Nachdem bisher Beispiele im Vordergrund standen, wollen wir nun erste Schritte in die Theorie gehen. Wir zeigen, wie man mit Erwartungswerten und Varianzen umgeht, behandeln den Begriff der (stochastischen) Unabhängigkeit und leiten zwei besonders wichtige Resultate der Stochastik ab, das Schwache Gesetz der Großen Zahlen und den Zentralen Grenzwertsatz.
Wie bestimmt sich folglich der Erwartungswert von X? Der Titel der Aufgabe erinnert an den Werbegag „Sammle alle 10 Kupons und gewinne“ oder auch an die Kinderzeit: Wieviel Schokotafeln muss man im Mittel kaufen, um alle r Bildchen zu erhalten, die den Tafeln „rein zufällig“ beigelegt sind? Ein häufiger Fall ist X = Z1 + · · · + Zn , wobei die Z1 , . . , Zn nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Dann gilt offenbar E[Zi ] = P(Zi = 1) und die Linearität des Erwartungswertes ergibt E[X] = P(Z1 = 1) + · · · + P(Zn = 1) .
Elementare Stochastik by Götz Kersting, Anton Wakolbinger
by Richard
4.5