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By Jürgen Audretsch

ISBN-10: 3527404708

ISBN-13: 9783527404704

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U2 ∂u1 Folglich (rotA)3 = ∂ 1 ∂ (A2 g2 ) − (A1 g1 ) . 143) Die anderen Komponenten erh¨ alt man durch zyklische Vertauschungen. 1) ein, so erhalten wir f¨ ur Polarkoordinaten die Ausdr¨ ucke: 1 ∂Φ ∂Φ 1 ∂Φ , , ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ grad Φ = divA = , ∂ 1 1 ∂Aϕ 1 ∂ r2 Ar + (sin ϑAϑ ) + , 2 r ∂r r sin ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ ΔΦ = mit Λϑ, ϕ = 1 ∂ r2 ∂r r2 ∂Φ ∂r + 1 Λϑ, ϕ Φ , r2 ∂ 1 1 ∂ ∂2 sin ϑ + , sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 ∂ 1 ∂ (sin ϑAϕ ) − Aϑ , r sin ϑ ∂ϑ ∂ϕ ∂ 1 1 ∂ Ar − (rAϕ ) , (rotA)ϑ = r sin ϑ ∂ϕ r ∂r 1 ∂ ∂ (rotA)ϕ = (rAϑ ) − Ar .

1) werden wir zeigen, dass die Gl. 85 nur eindeutige und beschr¨ ankte L¨ osungen besitzt, wenn λ = l (l + 1) , l = 0, 1, 2, . . 87) Die zugeh¨ origen Eigenfunktionen sind die Kugelfunktionen Ylm (ϑ, ϕ), −l ≤ m ≤ l (m ∈ Z). Diese bilden ein vollst¨ andiges orthonormiertes System in urlichen Maß dΩ auf S 2 ). Explizite Formeln f¨ ur L2 S 2 , dΩ (mit dem nat¨ Ylm werden ebenfalls im Anhang abgeleitet. Nun wenden wir uns der Gl. 86 zu. Dies ist eine gew¨ohnliche Differentialgleichung mit analytischen Koeffizienten, die bei r = 0 Singularit¨aten besitzen.

Es gilt dimVl ≥ dimHl − dimHl−2 = 2l + 1 . 1. Jede Funktion ul (ˆ ˆ ne Kugelfunktion zum Index l. Mit Vl bezeichnen wir den Vektorraum der Kugelfunktionen zum Index l. Notiere: Mit Yl ist auch Yl∗ eine Kugelfunktion zum Index l. In Vˆl definieren wir das Skalarprodukt (Yl , Yl ) = ∗ S2 Yl (e) Yl (e) dΩ . 157) F¨ ur jedes ul ∈ Vl ist ul (x) = |x|l Yl (ˆ x) mit Yl ∈ Vˆl . Die Zuordnung ul −→ Yl ist nat¨ urlich eine Isometrie von Vl auf Vˆl .

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by George
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